PREV На содержание. NEXT

9. Системы математического счисления.

“Системы математического счисления – это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

Рассматривая древние археологические находки (камни, кости животных), можно заметить, что люди стремились группировать точки, полосы и насечки по 3, 4, 5 или по 7. Такая группировка облегчала счет. В древности чаще всего считали на пальцах, и поэтому предметы стали группировать по 5 или по 10. В дальнейшем десяток десятков получил особенное название (в русском языке – сотня), десяток сотен – свое название (тысяча) и т.д. Для удобства записи такие узловые числа стали обозначать особыми знаками. Если при пересчете оказывалось 2 сотни 7 десятков и 4 предмета, то дважды повторяли знак для сотни, семь раз – знак для десятка и четыре раза – знак для единицы. Знаки для единиц, десятков и сотен были не похожи друг на друга. При такой записи числа знаки можно было располагать в любом порядке, и значение записанного числа при этом не менялось поскольку в такой записи положение знака не играет роли. Подобные системы счисления стали называть непозиционными. Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков и римлян. Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобные для умножения и деления. Чтобы облегчить работу, применялись счетные доски – абаки. Современные счеты являются видоизмененным абаком.

У древних вавилонян система счисления в начале была непозиционная, но в последствии они научились использовать информацию, заключенную в порядке записи знаков, и перешли к позиционной системе счисления. При этом в отличии от используемой нами системе счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при перемещении на одно место (такую систему называют десятичной), у вавилонян при перемещении знака происходило изменение значения числа в 60 раз (такую систему счисления называют шестидесятеричной). Долгое время в вавилонской системе счета не было нуля, т.е. знака для пропущенного разряда. Это не создавало неудобств, так как порядок числа был обычно известен. Но когда стали составлять обширные математические и астрономические таблицы, возникла необходимость в таком знаке. Он встречается и в поздних клинописных записях, и в таблицах, составленных в Александрии в начале нашей эры. Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд).

Хотя вавилонские ученые пользовались шестидесятеричной системой счисления, на практике все чаше использовали сложный гибрид этой системы с десятичной. А индийские математики, много заимствовавшие у вавилонских ученых, применяли чисто десятичную систему счета. Сочетав с ней вавилонский метод обозначения чисел, индийцы создали в IV в. способ записи, использующих лишь 9 цифр. Вместо нуля оставляли пустое место, а позднее стали ставить точку или маленький кружок. В IX в. появился особый знак для нуля. Долгое время понятие нуля казалось непонятным и абстрактным (зачем нужен знак для того, чего нет ?), но в конце концов преимущество нового способа записи чисел стали ясны всем. Были выработаны правила выполнения арифметических операций над числами в десятичной системе счисления, не требовавшие использование абака, и этот способ записи чисел распространился по всему миру. Но как указывал Н.Н.Лузин : "преимущества десятичной системы не математическое, а зоологическое. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой счисления".” ["Системы счисления", ЭСЮМ, 1985, с.274-275.]

За основание системы счисления можно принять не только числа 10 или 60, но и любое натуральное число p, большее 1.

Для записи чисел в p-ичной системе счисления нужно p цифр (для двоичной – две цифры [0 и 1], для десятичной – десять цифр [0, 1, 2, … , 9], для шестнадцатеричной – шестнадцать [0, 1, 2, … , 9, A, B, C, D, E, F]. Число, записанное цифрами ak, ak-1, ..., a0 в p-ичной системе, равно akpk+ak-1pk-1+…+a0. Например, разложим на слагаемые число C3F616, записанное в шестнадцатеричной системе счисления (о чем говорит значок 16, указанный как основание системы счисления) :

С3F6 = C(12)∙163+3∙162+F(15)∙161+6∙160.

В десятичной системе это число будет равно – 50166. Как видим для представления в привычном (десятичном) виде любого числа с любым основанием счисления (в нашем примере – 16), необходимо разбить все число на разряды :

C3F616 — C(12); 3; F(15); 6.

Затем присвоить каждому разряду свой номер, начиная с нуля и с крайнего правого разряда : цифре 6 соответствует номер 0, цифре F – 1, цифре 3 – 2 и цифре C – 3:

Номер разряда :3,     2,     1,    0.
Цифры :C,   3,   F,   6.

Эти номера разрядов мы будем использовать в качестве степеней основания (в нашем случае – 16), при переводе нашего числа C3F616 в число с основанием 10 (десятичное число). Таким образом мы получили число в десятичном счислении, которое соответствует числу C3F616 записанном в шестнадцатеричном счислении :

С3F616 = C(12)∙163+3∙162+F(15)∙161+6∙160 = 49152+768+240+6 = 5016610.

Точно таким же образом можно разложить на слагаемые и любое десятичное число, например :

9581 = 9∙103+5∙102+8∙101+1∙100; ( 9000+500+80+1 = 9581 ).

В двоичной системе счисления, основание равно “2”. И все числа записываются комбинациями цифр “0” и “1”, расставляя их на соответствующие позиции-регистры. Например, число 11012 :

№ регистра (степень основания) 3 2 1 0
двоичное число : 11012 = 1 1 0 1 =
= 1∙23 + 1∙22 + 0∙21 + 1∙20 =
= 8 + 4 + 0 + 1 = 1310 – десятичное число.

Таким образом, можно перевести любые числа двоичной системы счисления в десятичную :

12 = 1∙20 = 110

102 = 1∙21+0∙20 = 2+0 = 210

112 = 1∙21+1∙20 = 2+1 = 310

1002 = 1∙22+0∙21+0∙20 = 4+0+0 =410

1012 = 1∙22+0∙21+1∙20 = 4+0+1 = 510

1102 = 1∙22+1∙21+0∙20 = 4+2+0 = 610

1112 = 1∙22+1∙21+1∙20 = 4+2+1 = 710

10002 = 1∙23+0∙22+0∙21+0∙20 = 8+0+0+0 = 810

10012 = 1∙23+0∙22+0∙21+1∙20 = 8+0+0+1 = 910

10102 = 1∙23+0∙22+1∙21+0∙20 = 8+0+2+0 = 1010

10112 = 1∙23+0∙22+1∙21+1∙20 = 8+0+2+1 = 1110

11002 = 1∙23+1∙22+0∙21+0∙20 = 8+4+0+0 = 1210

11012 = 1∙23+1∙22+0∙21+1∙20 = 8+4+0+1 = 1310

11102 = 1∙23+1∙22+1∙21+0∙20 = 8+4+2+0 = 1410

11112 = 1∙23+1∙22+1∙21+1∙20 = 8+4+2+1 = 1510

100002 = 1∙24+0∙23+0∙22+0∙21+0∙20 = 16+0+0+0+0 = 1610

и т.д.

Резюме.

Двоичная Система счисления – самый простой и одновременно самый универсальный способ отображения и передачи информации.

Дабы слышал народ и поверил тебе навсегда.

PREV На содержание. NEXT

Besucherzahler
счетчик посещений